Уравнение Дирака для графена

Основная статья: Графен

Квазичастицы в графене обладают линейным законом дисперсии вблизи дираковских точек и их свойства полностью описываются уравнением Дирака . Сами дираковские точки находятся на краях зоны Бриллюэна, где электроны обладают большим волновым вектором. Если пренебречь процессами переброса между долинами, то этот большой вектор никак не влияет на транспорт в низкоэнергетическом приближении, поэтому волновой вектор, фигурирующий в уравнении Дирака, отсчитывают от дираковских точек и уравнение Дирака записывают для разных долин отдельно.

Вывод

Зонная структура

Если учесть только вклад ближайших соседей в формирование энергетических зон, то гамильтониан в приближении сильной связи для гексагональной кристаллической решётки примет вид

[math]\displaystyle{ H=-t\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3a^{\dagger}(\textbf{r}_i)b(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j)-t\sum_{i\in\Lambda_B}\sum_{j=1}^3b^{\dagger}(\textbf{r}_i)a(\textbf{r}_i+\textbf{v}_j),\qquad (1.1) }[/math]

где [math]\displaystyle{ t }[/math] — интеграл перекрытия между волновыми функциями ближайших соседей, который определяет также вероятность перехода («прыжка») между соседними атомами (атомами из разных подрешёток), операторы [math]\displaystyle{ a^{\dagger}(\textbf{r}_i) }[/math] и [math]\displaystyle{ b^{\dagger}(\textbf{r}_i) }[/math] операторы рождения, действующие на треугольных подрешётках кристалла [math]\displaystyle{ \Lambda_A }[/math] и [math]\displaystyle{ \Lambda_B }[/math] соответственно, [math]\displaystyle{ a(\textbf{r}_i) }[/math] и [math]\displaystyle{ b(\textbf{r}_i) }[/math] — операторы уничтожения. Они удовлетворяют обычным антикоммутационным соотношениям для фермионов:

[math]\displaystyle{ [a(\textbf{r}_i),a^{\dagger}(\textbf{r}_{i^{'}})]_{+}=[b(\textbf{r}_i),b^{\dagger}(\textbf{r}_{i^{'}})]_{+}=\delta_{ii^{'}}. \qquad (1.2) }[/math]

Шесть векторов [math]\displaystyle{ \textbf{u}_i }[/math] и [math]\displaystyle{ \textbf{v}_i }[/math] указывают на ближайшие узлы от выбранного центрального атома и задаются соотношениями

[math]\displaystyle{ \textbf{u}_1=(-d,0),\,\textbf{u}_2=\left(\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\,\textbf{u}_3=\left(\frac{1}{2}d,-\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\qquad (1.3) }[/math]

[math]\displaystyle{ \textbf{v}_1=(d,0),\,\textbf{v}_2=\left(-\frac{1}{2}d,-\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\,\textbf{v}_3=\left(-\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d\right).\qquad (1.4) }[/math]

Фурье преобразование операторов рождения и уничтожения

[math]\displaystyle{ a(\textbf{r}_i)=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{a}(\textbf{k}),b(\textbf{r}_i)=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{b}(\textbf{k}),\qquad (1.5) }[/math]

где интегрирование по волновым векторам ведётся из первой зоны Бриллюэна, позволяет записать гамильтониан в виде

[math]\displaystyle{ H=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{\psi}^{\dagger}(\textbf{k})\tilde{H}\tilde{\psi}(\textbf{k}),\qquad (1.6) }[/math]

где приняты следующие обозначения:

[math]\displaystyle{ \tilde{\psi}(\textbf{k})=\left(\tilde{a}(\textbf{k}),\tilde{b}(\textbf{k})\right)^{T},\,\tilde{\psi}^{\dagger}(\textbf{k})=\left(\tilde{a}^{\dagger}(\textbf{k}),\tilde{b}^{\dagger}(\textbf{k})\right),\qquad (1.7) }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \tilde{H}=\left( \begin{array}{cc} 0 & -t\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j} \\ -t\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{v}_j} & 0 \\ \end{array} \right). \qquad (1.8) }[/math]

Выражение (1.6) можно получить если подставить (1.5) в (1.1). Рассмотрим сумму

[math]\displaystyle{ \sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3a^{\dagger}(\textbf{r}_i)b(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j),\qquad (1.9) }[/math]

которую, использовав соотношения (1.5) можно записать в виде

[math]\displaystyle{ \sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\int\limits_{BZ}\frac{d^2k^{'}}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}^{'}(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j)}\tilde{b}(\textbf{k}^{'}),\qquad (1.10) }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\int\limits_{BZ}\frac{d^2k^{'}}{(2\pi)^2}\sum_{i\in\Lambda_A}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i+i\textbf{k}^{'}\textbf{r}_i}\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}^{'}\textbf{u}_j}\tilde{b}(\textbf{k}^{'}).\qquad (1.11) }[/math]

Используя соотношение

[math]\displaystyle{ \sum_{i\in\Lambda_A}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i+i\textbf{k}^{'}\textbf{r}_i}=(2\pi)^2\delta\left(\textbf{k}^{'}-\textbf{k}\right),\qquad (1.12) }[/math]

получим после интегрирования по [math]\displaystyle{ \textbf{k}^{'} }[/math] выражение

[math]\displaystyle{ \int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j}\tilde{b}(\textbf{k}).\qquad (1.13) }[/math]

Аналогичное преобразование второй суммы в гамильтониане (1.1) приводит к искомому результату (1.6).

Собственные значения гамильтониана (1.8) принимают значения

[math]\displaystyle{ E=\pm t\sqrt{\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j}\sum_{j^{'}=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{v}_{j^{'}}}}=\pm t\sqrt{\left(e^{-ik_xd}+2e^{ik_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)\left(e^{ik_xd}+2e^{-ik_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \pm t\sqrt{\left(1+2e^{i3k_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)\left(1+2e^{-i3k_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)}=\pm t\sqrt{1+4\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_yd\right)\left[\cos\left(\frac{3}{2}k_xd\right)+\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_yd\right)\right]},\qquad (1.14) }[/math]

которые определяют зонную структуру графена.

Низкоэнергетическое приближение

Зоны (1.14) с положительной энергией (электронов) и с отрицательной энергией (дырок) касаются в шести точках, называемые дираковскими точками, поскольку вблизи них энергетический спектр приобретает линейную зависимость от волнового вектора. Координаты этих точек равны

[math]\displaystyle{ \left(0,\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(0,-\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(\frac{2\pi}{3d},\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(\frac{2\pi}{3d},-\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(-\frac{2\pi}{3d},\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(-\frac{2\pi}{3d},\frac{-2\pi }{3\sqrt{3}d}\right).\qquad (2.1) }[/math]

Две независимые долины можно выбрать так, что вершины валентных зон будут находиться в дираковских точах с координатами

[math]\displaystyle{ \textbf{K}^{\pm}=\left(0,\pm\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right).\qquad (2.2) }[/math]

Рассмотрим недиагональный элемент [math]\displaystyle{ \tilde{H}_{12} }[/math] гамильтониана (1.8). Разложим его вблизи дираковских точек (2.2) по малому параметру d

[math]\displaystyle{ \lim_{d\rightarrow 0}d^{-1}\tilde{H}_{12}|_{\textbf{k}=\textbf{K}^{\pm}+\boldsymbol{\kappa}}=-t\lim_{d\rightarrow 0}d^{-1}\left(e^{-i\kappa_xd}+2e^{i\kappa_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}d}{2}}\left(\pm\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}+\kappa_y\right)\right)=\frac{3t}{2 }(i\kappa_x\pm\kappa_y).\qquad (2.3) }[/math]

Для [math]\displaystyle{ \tilde{H}_{21} }[/math] разложение вычисляется аналогично и в итоге можно записать гамильтониан для квазичастиц вблизи дираковских точек в виде

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc} H^{+} & 0 \\ 0 & H^{-} \\ \end{array} \right)=\hbar v_F(\alpha^1\kappa_x+\alpha^2\kappa_y), \qquad (2.4) }[/math]

где фермиевская скорость [math]\displaystyle{ v_F=3td\hbar^{-1}/2 }[/math] и

[math]\displaystyle{ \alpha^1=-\left( \begin{array}{cc} \sigma^2 & 0 \\ 0 & \sigma^2 \\ \end{array} \right),\,\alpha^2=\left( \begin{array}{cc} \sigma^1 & 0 \\ 0 & -\sigma^1 \\ \end{array} \right). \qquad (2.5) }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \sigma^1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \sigma^2 }[/math] — матрицы Паули.

Если теперь перейти в координатное представление сделав фурье преобразование гамильтониана (2.4), то придём к гамильтониану в уравнении Дирака для квазичастиц в графене

[math]\displaystyle{ H=-i\hbar v_F(\alpha^1\partial_x+\alpha^2\partial_y). \qquad (2.6) }[/math]

Решением уравнени Дирака для графена [math]\displaystyle{ H\psi=E\psi }[/math] будет четырёхкомпонентный столбец вида

[math]\displaystyle{ \psi=(\psi_A^{+},\psi_B^{+},\psi_A^{-},\psi_B^{-})^{T}, \qquad (2.7) }[/math]

где индексы ^{[math]\displaystyle{ A }[/math]} и ^{[math]\displaystyle{ B }[/math]} соответствуют двум подрешёткам кристалла, а знаки «+» и «-» обозначают неэквивалентные дираковские точки k-пространстве.

Произвольный поворот системы координат

Поскольку закон дисперсии не должен зависеть в низкоэнергетическом приближении от ориентации кристаллической решётки относительно системы координат, а уравнение Дирака для графена не обладает таким свойством, то возникает вопрос об общем виде уравнения Дирака при повороте системы координат. Ясно, что единственное различие между уравнениями Дирака в заданной системе координат и повёрнутой на угол [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] системой координат, при условии сохранения закона дисперсии, заключается в добавке фазовых факторов. Вычисления приводят к гамильтониану для свободных частиц вида

[math]\displaystyle{ H_{\pm}=-i\hbar v \left( \begin{array}{cc} 0 & e^{\pm i\alpha}(i\partial_x\pm \partial_y) \\ e^{\mp i\alpha}(-i\partial_x\pm \partial_y) & 0 \\ \end{array} \right),\qquad (3.1) }[/math]

из которого можно получить все уравнения, которые используются в литературе (при условии выбора противолежащих K точек).

В литературе встречается гамильтониан в виде

[math]\displaystyle{ H_{\pm}=-i\hbar v \left( \begin{array}{cc} 0 & \pm\partial_x-i\partial_y \\ \pm\partial_x+i\partial_y & 0 \\ \end{array} \right),\qquad (3.2) }[/math]

который получается из (3.1) если взять угол [math]\displaystyle{ \alpha=-\pi/2 }[/math].

Решение уравнения Дирака

Рассмотрим гамильтониан для одной долины

[math]\displaystyle{ H_{+}=-i\hbar v\begin{pmatrix} 0 & i\frac{\partial}{\partial x}+ \frac{\partial}{\partial y}\\ -i\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} & 0 \end{pmatrix}.\qquad (4.1) }[/math]

Волновая функция представляется в виде спинора состоящего из двух компонентов

[math]\displaystyle{ \Psi=\begin{pmatrix} \phi\\ \chi\end{pmatrix}.\qquad (4.2) }[/math]

Эта функция удовлетворяет следующему уравнению для свободных частиц

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} -i\hbar v\left(i\frac{\partial\chi}{\partial x}+\frac{\partial\chi}{\partial y}\right)=E\phi & \\ -i\hbar v\left(-i\frac{\partial\phi}{\partial x}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)=E\chi & \end{matrix}\right.\qquad (4.3) }[/math]

Подставляя второе уравнение в первое получим волновое уравнение

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}=-\frac{E^2}{\hbar^2v^2}\phi,\qquad (4.4) }[/math]

решением которого будет плоская волна

[math]\displaystyle{ \phi=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.5) }[/math]

Собственные значение имеют вид непрерывного линейного спектра

[math]\displaystyle{ E=\pm\hbar vk_F=\pm\hbar v\sqrt{k_x^2+k_y^2}.\qquad (4.6) }[/math]

Вторую компоненту волновой функции легко найти подставив найденное решение во второе уравнение (4.3)

[math]\displaystyle{ \chi=-i\frac{\hbar v \left(k_x+ik_y\right)}{E}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}=-ie^{i\theta}\frac{\hbar vk_F }{E}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.7) }[/math]

Поэтому волновая функция для [math]\displaystyle{ K^{+} }[/math] долины запишется в виде

[math]\displaystyle{ \Psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\-ie^{i\theta}\frac{\hbar vk_F}{E}\end{pmatrix}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.8) }[/math]

Литература

• Лозовик Ю. Е. , Меркулова С.П., Соколик А.А. Коллективные электронные явления в графене // УФН. — 2008. — Т. 178, № 7. — С. 757–776.